発送番号の取得について

APIの「検索」機能を使えば、日付と状態などで絞り込むことにより発送番号(配送会社の伝票番号)を取得することができますでしょうか?

はい、受注伝票検索API利用すれば取得することが出来ます。
receive_order_delivery_cut_form_idが配送先の伝票番号になります。
受注伝票検索APIについてこちらをご覧ください。
https://developer.next-engine.com/api/api_v1_receiveorder_base/search